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Ungar-Leech Seven Coloration of the Torus

Les figures ci-dessus montrent les deux côtés du tore sur lequel une carte est dessinée de sept pays, chacun des six autres contacts. [Cliquez sur l'image pour l'agrandir.] Cela montre que la phrase de Heawood, qui revendique une carte colorée de Tora avec un maximum de sept couleurs, est la meilleure possible. (Des restrictions appropriées, telles que l'obligation de connecter chaque pays (sans parties séparées telles que l'Alaska), sont supposées.) La carte originale des sept pays, conçue pour imposer l'utilisation de sept couleurs, a été écrite par J. Heawood Percy. Son rendu symétrique a été développé indépendamment par Peter Ungar et John Leeche. J'ai fabriqué le modèle présenté à partir de l'hydrostone en 1972. Son diamètre extérieur est de 9 pouces et se compose de deux moitiés toroïdales collées ensemble. Sur chaque moitié il a été coulé dans un moule en bois pour moi préparé un atelier du département de physique.
Références et remarques
Anatol Beck, Michael N. Bleicher et Donald W. Crowe montrent comment une personne peut imaginer la construction et la coloration d'un tore lors d'une excursion en mathématiques, dans un pub, 1969. (Voir les images au frontispice en couleurs, la feuille de titre et les images monochromes (équivalentes) à la page. 67.) Ce livre a été mis à jour et publié sous la forme d’une excursion mathématique: The Millennium Edition (Broché) de AK Peters, Ltd., 2000. (Voir page 64).
Sarah-marie belcastro et Carolyn Yackel ont conçu et mis au point la production de tore montre sept pays, chacun six autres contacts. Le chapitre informatif "Le tore à sept couleurs: une construction mathématiquement intéressante et non critique" décrit de nombreux travaux liés à ce développement "Livres G4G7, Pied Puzzles, Ed Pegg Jr., Alan H. Schoen et Tom Rodgers, éd. , K Peters, août 2008. La réalisation au crochet de Yackel est illustrée dans son chapitre. Il apparaît également sur le côté droit de l'image intitulée "Ring Math".
Une autre bonne illustration, avec un peu d'histoire, est donnée dans les trois dernières pages de H. S. M. Coxeter, une carte en quatre couleurs du problème, 1840-1890, un professeur de mathématiques 52 (avril 1959), 283-289.
Le Guide pour dessiner les sept régions sur le tore est disponible à la page 168 de Mathematical Models (2e éd.), H. Martyn Cundy et AP Rollett, Oxford University Press, 1961. (La plupart des limites ont été placées en passant une chaîne tendue entre des paires de points sur le modèle, méthode proposée par Geoffrey A. Wilson, étudiant à mon cours de géométrie et de mathématiques, final, printemps 1972.)
L’image de mon plâtre torique apparaît au recto de la couverture de la recherche en topologie: couleurs de la carte, surfaces et nœuds, David Gay, Elsevier, 2007.
Susan Goldstine (Amherst College, 1993) présente une série de sept cartes de colorations sur des tori, des modèles et des instructions de construction inhabituelles. Voir également la page 113 de son portefeuille Fortunatus en mathématiques, broderie, sarah-marie belcastro et Carolyn Yackel, éd., A K Peters, S.R., 2008.
Percy J. Heawood, le pionnier de la cartographie couleur, a donné le premier modèle de carte connu des sept régions du tore, chacune touchant les six autres. Voir sa carte de théorème de couleur, Quarterly Journal Pure et Mathematics 24 (1890), 332-338. Une image plus lisible de cette carte apparaît à la page 114 de la carte de 1736-1936, N. L. Biggs, E. K. Lloyd et R. J. Wilson, Oxford Univ. Pr., 1976.
Le Coxeter attribue une représentation symétrique des sept régions sur le tore indiqué ci-dessus par John Leech en 1953. Voir John Leeche, Sept cartes de la région du torus, Mathematical Gazette, 39, n ° 1. 328 (mai 1955), 102-105.
La sangsue reconnaît l'équivalence de base du plan de la revue Peter Ungar aux diagrammes représentant des cartes, la société mathématique London, 28 (1953), 336-342 (note de bas de page, p. 103). Ungar, en revanche, reconnaît que des dissections de sangsues pareillement déguisées (Note de bas de page, p. 342)