FREE SHIPPING. 24/7 CUSTOMER SERVICE. ALL THRONES SHIP WITHIN 7 DAYS.

Math Club Interview

Вопрос: Как долго вы в Гарварде?

М: Полтора года, если вы не считаете дни учебы.

Вопрос: Итак, вы были аспирантом здесь?

М: Верно.

Q: И где вы были студентом?

М: Я был в колледже Уильямса в Западном Массачусетсе, а затем я провел год в Кембридже, Англия.

Q: Откуда вы?

М: На этот вопрос трудно ответить. Я в основном вырос в Шарлотте, штат Вермонт, но я действительно родился в Беркли, штат Калифорния. Мы тоже немного поехали, но я думаю о себе как о Вермонте.

Вопрос: Не могли бы вы рассказать нам немного о медали?

М: Я считаю, что это началось в 1930-х годах. Это было установлено канадцем, Филдс, и я знаю, что Альфорсу и Дугласу дали первые два. Он предоставляется каждые четыре года в ICM, и в последние годы они дают его трем или четырем людям. Итак, посмотрим, кто еще получил его в этом году? Концевич, Гауэрс и Борчердс. Фактически все из них, кроме Гауэров, провели время в Беркли, где я был в течение последних семи лет, прежде чем я приехал сюда. Поэтому я знал как Берчердса, так и Концевича из Беркли.

Q: Где вы были, когда узнали?

М: Я был здесь. Вы узнаете пару месяцев вперед, и это должно храниться в секрете до фактического дня церемонии. Поэтому я никому не рассказывал, что было довольно сложно, потому что ходят слухи, и я постоянно должен их отрицать.

Вопрос: Не могли бы вы рассказать нам немного о том, что проводилось на вашем исследовании, что дало вам медаль?

М: Позвольте мне начать с направления моих исследований. Во-первых, я написал диссертацию в Гарварде, но я не работал с профессором Гарварда. Перед тем, как окончить школу, я занимался компьютерной работой с Дэвидом Мамфордом в группах Кляйнинга, и меня заинтересовала эта тема. Но я действительно закончил тем, что написал диссертацию с Деннисом Салливаном, который в то время был профессором в Городском университете в Нью-Йорке и IHES во Франции. Поэтому мне очень повезло, что Мамфорд познакомил меня с ним в последний год моей выпускной карьеры, после чего у меня не было советника и не было темы тезиса. И я поехал во Францию ​​и работал с Салливаном в IHES в течение семестра, и я встретил там Стива Смейла, который дал мне эту хорошую тезисную задачу по решению полиномиальных уравнений по итерации.

Вероятно, вы слышали о методе Ньютона для решения многочленов. Если вы примените метод Ньютона для кубического многочлена, он может не работать. Вы можете застрять под местным минимумом. И если вы немного измените первоначальную догадку, она все равно не сходится к корню. Таким образом, метод Ньютона не является надежным для решения полиномиальных уравнений. Проблема, над которой я работал, заключалась в том, был ли какой-либо алгоритм, например, метод Ньютона, включающий итерацию только одной рациональной функции, которая может надежно решать полиномиальные уравнения. Я смог доказать, что ответ не подходит для степени 4 или более, и на самом деле я нашел новый алгоритм для решения кубиков, который является надежным.

Затем я поехал в MSRI и был в Массачусетском технологическом институте в течение семестра, а затем в Принстоне четыре года. Мы с Питером Дойлом работали в Принстоне по решению уравнений пятой степени, и мы нашли этот красивый неожиданный алгоритм для решения квинтичных полиномов. Но мой тезис не противоречит, потому что это башня итераций; то есть вы повторяете одну рациональную функцию, берете то, к чему она сходится, и подключайте ее к другой.

Как вы знаете, решение квинтики связано с группой Галуа A5 и тем, что A5 - простая группа. Это было использовано Галуа, чтобы доказать, что радикалы не могут решить уравнение квинтики.

Оказывается, что для того, чтобы решить уравнение с использованием итерационной рациональной карты, вам нужно найти рациональное отображение, симметрия которого является группой Галуа многочлена. Теперь существует лишь малая группа групп, которые могут быть группами симметрии на сфере Римана, а интересные - из платоновских тел. Таким образом, A5, группа симметрии додекаэдра, является наиболее сложной, которую вы можете получить. Мы использовали это рациональное отображение с симметрией A5, чтобы дать новый алгоритм для надежного решения уравнения квинтики. И тем самым, поскольку S6 или A6 не работают на сфере Римана, нет аналогичного алгоритма для решения уравнений степени 6 или более. Итак, это была моя первая область исследований: решение полиномов и динамика рациональных отображений. Ссылка на сайт

Теперь, следующее, над чем я работал, когда я был в Принстоне, была теория гиперболических 3-многообразий Терстона. У Thurston есть исследовательская программа, которая была очень успешной, чтобы попытаться найти каноническую геометрию для трехмерных объектов. Например, если вы представляете себе, что у вас есть многообразие, то есть тайно 3-сфера, если вы можете каким-то образом найти круглую метрику, то вы вдруг узнаете ее как 3-сферу. Поэтому, если вы можете найти метрику, которая дает многообразию хорошую форму, тогда вы можете узнать, что такое многообразие. Оказывается, что большинство трехмерных многообразий допускают эти метрики, но метрики не являются положительно изогнутыми, как 3-сфера, они